jueves, 12 de julio de 2018

EJEMPLO#7 Calcula el área limitada entre la siguiente función y el eje x:
El área limitada por esta función y el eje x será el área que quede entre la función y los puntos de corte con el eje x, que a su vez serán los límites de integración.
Por tanto, lo primero que tenemos que hacer es calcular los puntos de corte de la función con el eje x.
La función corta con el eje x cuando es igual a cero, por lo que debemos igualar a cero la función y resolver la ecuación de segundo grado que resulta:
Cuyas soluciones son:
Por tanto, la función corta al eje x en los puntos x=-1 y x=2.
Si representamos la función nos queda:
El área que tenemos que calcular queda por debajo del eje x, por lo que será igual a la integral de la función entre -1 y 2, y precedida por un signo menos:
Para eliminar el signo menos, le damos la vuelta a los límites de integración:
Ahora aplicamos la regla de  Barrow.
Integramos la función y la dejamos entre corchetes con sus límites de integración:
Realizamos al resta de las funciones primitivas correspondientes sustituyendo la x por -1 y por 2 respectivamente::
Operamos, dejando el segundo paréntesis, ya que tiene delante un signo menos y no equivocarnos en los signos:
Y ahora sí, eliminamos el segundo paréntesis, cambiando de signo los términos que tiene dentro:
Finalmente, reducimos a común denominador y operamos hasta llegar al resultado final:
El área limitada entre la función y el eje x tiene un valor de 9/2 unidades cuadradas.
EJEMPLO#6
Calcular el área limitada por la curva y = x2 -5x + 6 y la recta y = 2x.
En primer lugar hallamos los puntos de corte de las dos funciones para conocer los límites de integración.

sistema de ecuaciones

representación gráfica
De x = 1 a x = 6, la recta queda por encima de la parábola.
integral
solución
EJEMPLO #5
Calcular el área limitada por la curva y = 6x2 − 3x3 y el eje de abscisas.
ecuación
representación gráfica
área
Ejemplo #4
Hallar el área limitada por la recta x + y = 10, el eje OX y las ordenadas de x = 2 y x = 8.
de presentación de la recta
área de la recta
Ejemplo # 3

Hallar el área de la región del plano encerrada por la curva y = ln x entre el punto de corte con el eje X y el punto de abscisa x = e
En primer lugar calculamos el punto de corte con el eje de abscisas.
punto de corte
integral
derivar
integrar
integral de indefinida
solución
EJEMPLO #2
Calcular el área del recinto limitado por la curva y = 4x − x2 y el eje X. En primer lugar hallamos los puntos de corte con el eje X para representar la curva y conocer los límites de integración.
0 = 4x − x2
0=X(4-X)>>>>>>>>>ENTONCES x=0 y x=4
En segudo lugar se calcula la integral:

martes, 10 de julio de 2018

Integrales Definidas

Integral definida. Dada una función f(x) y un intervalo [a,b], la integral definida es igual al área limitada entre la gráfica de f(x), el eje de abscisas, y las rectas verticales x = a y x = b.
Definición
La integral definida es uno de los conceptos fundamentales del Análisis Matemático.

La integral definida de f(x) en el intervalo [a,b] es igual al área limitada entre la gráfica de f(x), el eje de abscisas, y las rectas verticales x = a y x = b (bajo la hipótesis de que la función f es positiva). Esta integral se representa por:
a es límite inferior de la integración y b es límite superior de la integración.

Si la función F es una función primitiva de f en el intervalo [a,b], por la Regla de Barrow se tiene que:
Propiedades
1. El valor de la integral definida cambia de signo si se permutan los límites de integración.
2. Si los límites que integración coinciden, la integral definida vale cero.
3. Si c es un punto interior del intervalo [a, b], la integral definida se descompone como una suma de dos integrales extendidas a los intervalos [a, c] y [c, b].
4. La integral definida de una suma de funciones es igual a la suma de integrales·
5. La integral del producto de una constante por una función es igual a la constante por la integral de la función.

EJEMPLO #1: Integral como Àrea debajo de una curva